Reel sayılar ile oranlı sayılar kümesinin birleşmesinden reel sayılar kümesi oluşmaktadır. Bu kümeye reel sayılar ya da gerçek sayılar kümeside denilebilir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlam kazanabilmesi için Klasik Yunan Dönemi' nde, inanılan inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından, sayı kavramına dahil edilmeye karar verilmiştir. Duyumlara göre Pisagor, evrendeki tüm büyük şeylerin rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat keşfettiği hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak x² = 2 gibi bir değerlerle karşılaşmış olmuştur. Senelerce bu tür sayıların uzun kesirler ile anlatılabileceği iddia etti ve ispatlamaya çalıştıysa da  öğrencilerinden bir tanesinin bu tür sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat eder ve pisagorda ikna olmuş olur. Buna rağmen hayatı boyunca bunun bir sır gibi gizlenmesi için çaba sarf eder ve  yine doğada reel sayıların yeri olmadığını söylemeye devam eder. 

Reel sayılar, cebirsel sayıların elemanı olanlar ve aşkın sayılar olmak üzere ikiye ayrılırlar. Reel sayılar cebirsel sayıları içine almaz ama aşkın sayıları kapsarlar. Oranlı olan sayılardan reel sayıları elde etme sistemi ise oranlı sayılara, ondalık açılımındaki rakamların, devirsel tekrarlamadığı sayıların eklenmesi olarak düşünülebilmektedir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara ise irrasyonel sayılar denilmektedir.